概要
本提案定义了一种抽象基类（ABC）（PEP 3119）的层次结构，用来表示类似数字（number-like）的类。它提出了一个 Number :> Complex :> Real :> Rational :> Integral 的层次结构，其中 A :> B 表示“A 是 B 的超类”。该层次结构受到了 Scheme 的数字塔（numeric tower）启发。（译注：数字--复数--实数--有理数--整数）
基本原理
以数字作为参数的函数应该能够判定这些数字的属性，并且根据数字的类型，确定是否以及何时进行重载，即基于参数的类型，函数应该是可重载的。
例如，切片要求其参数为Integrals，而math模块中的函数要求其参数为Real。
规范
本 PEP 规定了一组抽象基类（Abstract Base Class），并提出了一个实现某些方法的通用策略。它使用了来自于PEP 3119的术语，但是该层次结构旨在对特定类集的任何系统方法都有意义。
标准库中的类型检查应该使用这些类，而不是具体的内置类型。
数值类
我们从 Number 类开始，它是人们想象的数字类型的模糊概念。此类仅用于重载；它不提供任何操作。
class Number(metaclass=ABCMeta): pass
大多数复数（complex number）的实现都是可散列的，但是如果你需要依赖它，则必须明确地检查：此层次结构支持可变的数。
class Complex(Number): """Complex defines the operations that work on the builtin complex type. In short, those are: conversion to complex, bool(), .real, .imag, +, -, *, /, **, abs(), .conjugate(), ==, and !=. If it is given heterogenous arguments, and doesn't have special knowledge about them, it should fall back to the builtin complex type as described below. """ @abstractmethod def __complex__(self): """Return a builtin complex instance.""" def __bool__(self): """True if self != 0.""" return self != 0 @abstractproperty def real(self): """Retrieve the real component of this number. This should subclass Real. """ raise NotImplementedError @abstractproperty def imag(self): """Retrieve the real component of this number. This should subclass Real. """ raise NotImplementedError @abstractmethod def __add__(self, other): raise NotImplementedError @abstractmethod def __radd__(self, other): raise NotImplementedError @abstractmethod def __neg__(self): raise NotImplementedError def __pos__(self): """Coerces self to whatever class defines the method.""" raise NotImplementedError def __sub__(self, other): return self + -other def __rsub__(self, other): return -self + other @abstractmethod def __mul__(self, other): raise NotImplementedError @abstractmethod def __rmul__(self, other): raise NotImplementedError @abstractmethod def __div__(self, other): """a/b; should promote to float or complex when necessary.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __rdiv__(self, other): raise NotImplementedError @abstractmethod def __pow__(self, exponent): """a**b; should promote to float or complex when necessary.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __rpow__(self, base): raise NotImplementedError @abstractmethod def __abs__(self): """Returns the Real distance from 0.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def conjugate(self): """(x+y*i).conjugate() returns (x-y*i).""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __eq__(self, other): raise NotImplementedError # __ne__ is inherited from object and negates whatever __eq__ does.
Real抽象基类表示在实数轴上的值，并且支持内置的float的操作。实数（Real number）是完全有序的，除了 NaN（本 PEP 基本上不考虑它）。
class Real(Complex): """To Complex, Real adds the operations that work on real numbers. In short, those are: conversion to float, trunc(), math.floor(), math.ceil(), round(), divmod(), //, %, <, <=, >, and >=. Real also provides defaults for some of the derived operations. """ # XXX What to do about the __int__ implementation that's # currently present on float? Get rid of it? @abstractmethod def __float__(self): """Any Real can be converted to a native float object.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __trunc__(self): """Truncates self to an Integral. Returns an Integral i such that: * i>=0 iff self>0; * abs(i) <= abs(self); * for any Integral j satisfying the first two conditions, abs(i) >= abs(j) [i.e. i has "maximal" abs among those]. i.e. "truncate towards 0". """ raise NotImplementedError @abstractmethod def __floor__(self): """Finds the greatest Integral <= self.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __ceil__(self): """Finds the least Integral >= self.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __round__(self, ndigits:Integral=None): """Rounds self to ndigits decimal places, defaulting to 0. If ndigits is omitted or None, returns an Integral, otherwise returns a Real, preferably of the same type as self. Types may choose which direction to round half. For example, float rounds half toward even. """ raise NotImplementedError def __divmod__(self, other): """The pair (self // other, self % other). Sometimes this can be computed faster than the pair of operations. """ return (self // other, self % other) def __rdivmod__(self, other): """The pair (self // other, self % other). Sometimes this can be computed faster than the pair of operations. """ return (other // self, other % self) @abstractmethod def __floordiv__(self, other): """The floor() of self/other. Integral.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __rfloordiv__(self, other): """The floor() of other/self.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __mod__(self, other): """self % other See https://mail.python.org/pipermail/python-3000/2006-May/001735.html and consider using "self/other - trunc(self/other)" instead if you're worried about round-off errors. """ raise NotImplementedError @abstractmethod def __rmod__(self, other): """other % self""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __lt__(self, other): """< on Reals defines a total ordering, except perhaps for NaN.""" raise NotImplementedError @abstractmethod def __le__(self, other): raise NotImplementedError # __gt__ and __ge__ are automatically done by reversing the arguments. # (But __le__ is not computed as the opposite of __gt__!) # Concrete implementations of Complex abstract methods. # Subclasses may override these, but don't have to. def __complex__(self): return complex(float(self)) @property def real(self): return +self @property def imag(self): return 0 def conjugate(self): """Conjugate is a no-op for Reals.""" return +self
我们应该整理 Demo/classes/Rat.py，并把它提升为 Rational.py 加入标准库。然后它将实现有理数（Rational）抽象基类。
class Rational(Real, Exact): """.numerator and .denominator should be in lowest terms.""" @abstractproperty def numerator(self): raise NotImplementedError @abstractproperty def denominator(self): raise NotImplementedError # Concrete implementation of Real's conversion to float. # (This invokes Integer.__div__().) def __float__(self): return self.numerator / self.denominator
最后是整数类：
class Integral(Rational): """Integral adds a conversion to int and the bit-string operations.""" @abstractmethod def __int__(self): raise NotImplementedError def __index__(self): """__index__() exists because float has __int__().""" return int(self) def __lshift__(self, other): return int(self) << int(other) def __rlshift__(self, other): return int(other) << int(self) def __rshift__(self, other): return int(self) >> int(other) def __rrshift__(self, other): return int(other) >> int(self) def __and__(self, other): return int(self) & int(other) def __rand__(self, other): return int(other) & int(self) def __xor__(self, other): return int(self) ^ int(other) def __rxor__(self, other): return int(other) ^ int(self) def __or__(self, other): return int(self) | int(other) def __ror__(self, other): return int(other) | int(self) def __invert__(self): return ~int(self) # Concrete implementations of Rational and Real abstract methods. def __float__(self): """float(self) == float(int(self))""" return float(int(self)) @property def numerator(self): """Integers are their own numerators.""" return +self @property def denominator(self): """Integers have a denominator of 1.""" return 1
运算及__magic__方法的变更
为了支持从 float 到 int（确切地说，从 Real 到 Integral）的精度收缩，我们提出了以下新的 __magic__ 方法，可以从相应的库函数中调用。所有这些方法都返回 Intergral 而不是 Real。
__trunc__(self)：在新的内置 trunc(x) 里调用，它返回从 0 到 x 之间的最接近 x 的 Integral。
__floor__(self)：在 math.floor(x) 里调用，返回最大的 Integral <= x。
__ceil__(self)：在 math.ceil(x) 里调用，返回最小的 Integral > = x。
__round__(self)：在 round(x) 里调用，返回最接近 x 的 Integral ，根据选定的类型作四舍五入。浮点数将从 3.0 版本起改为向偶数端四舍五入。（译注：round(2.5) 等于 2，round(3.5) 等于 4）。它还有一个带两参数的版本__round__(self, ndigits)，被 round(x, ndigits) 调用，但返回的是一个 Real。
在 2.6 版本中，math.floor、math.ceil 和 round 将继续返回浮点数。
float 的 int() 转换等效于 trunc()。一般而言，int() 的转换首先会尝试__int__()，如果找不到，再尝试__trunc__()。
complex.__{divmod, mod, floordiv, int, float}__ 也消失了。提供一个好的错误消息来帮助困惑的搬运工会很好，但更重要的是不出现在 help(complex) 中。
给类型实现者的说明
实现者应该注意使相等的数字相等，并将它们散列为相同的值。如果实数有两个不同的扩展，这可能会变得微妙。例如，一个复数类型可以像这样合理地实现 hash()：
def __hash__(self): return hash(complex(self))
但应注意所有超出了内置复数范围或精度的值。
添加更多数字抽象基类
当然，数字还可能有更多的抽象基类，如果排除了添加这些数字的可能性，这会是一个糟糕的等级体系。你可以使用以下方法在 Complex 和 Real 之间添加MyFoo：
class MyFoo(Complex): ... MyFoo.register(Real)
实现算术运算
我们希望实现算术运算，使得在混合模式的运算时，要么调用者知道如何处理两种参数类型，要么将两者都转换为最接近的内置类型，并以此进行操作。
对于 Integral 的子类型，这意味着__add__和__radd__应该被定义为：
class MyIntegral(Integral): def __add__(self, other): if isinstance(other, MyIntegral): return do_my_adding_stuff(self, other) elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout): return do_my_other_adding_stuff(self, other) else: return NotImplemented def __radd__(self, other): if isinstance(other, MyIntegral): return do_my_adding_stuff(other, self) elif isinstance(other, OtherTypeIKnowAbout): return do_my_other_adding_stuff(other, self) elif isinstance(other, Integral): return int(other) + int(self) elif isinstance(other, Real): return float(other) + float(self) elif isinstance(other, Complex): return complex(other) + complex(self) else: return NotImplemented
对 Complex 的子类进行混合类型操作有 5 种不同的情况。我把以上所有未包含 MyIntegral 和 OtherTypeIKnowAbout 的代码称为“样板”。
a 是 A 的实例，它是Complex(a : A <: Complex) 的子类型，还有 b : B <: Complex。对于 a + b，我这么考虑：
如果 A 定义了接受 b 的__add__，那么没问题。
如果 A 走到了样板代码分支（译注：else 分支），还从__add__返回一个值的话，那么我们就错过了为 B 定义一个更智能的__radd__的可能性，因此样板应该从__add__返回 NotImplemented。（或者 A 可以不实现__add__）
然后 B 的__radd__的机会来了。如果它接受 a，那么没问题。
如果它走到样板分支上，就没有办法了，因此需要有默认的实现。
如果 B <: A，则 Python 会在 A.__ add__之前尝试 B.__ radd__。这也可以，因为它是基于 A 而实现的，因此可以在委派给 Complex 之前处理这些实例。
如果 A <: Complex 和 B <: Real 没有其它关系，则合适的共享操作是内置复数的操作，它们的__radd__都在其中，因此 a + b == b + a。（译注：这几段没看太明白，可能译得不对）
被拒绝的方案
本 PEP 的初始版本定义了一个被 Haskell Numeric Prelude 所启发的代数层次结构，其中包括 MonoidUnderPlus、AdditiveGroup、Ring 和 Field，并在得到数字之前，还有其它几种可能的代数类型。
我们原本希望这对使用向量和矩阵的人有用，但 NumPy 社区确实对此并不感兴趣，另外我们还遇到了一个问题，即便 x 是 X <: MonoidUnderPlus 的实例，而且 y 是 Y < : MonoidUnderPlus 的实例，x + y 可能还是行不通。
然后，我们为数字提供了更多的分支结构，包括高斯整数（Gaussian Integer）和 Z/nZ 之类的东西，它们可以是 Complex，但不一定支持“除”之类的操作。
社区认为这对 Python 来说太复杂了，因此我现在缩小了提案的范围，使其更接近于 Scheme 数字塔。
十进制类型
经与作者协商，已决定目前不将 Decimal 类型作为数字塔的一部分。
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